Como lo veremos todavía más claramente a continuación, hay casos en los que basta reemplazar la idea del pretendido infinito por la de lo indefinido para hacer desaparecer inmediatamente toda dificultad, pero hay otros donde eso mismo no es posible, porque se trata de algo claramente determinado, «fijado» de alguna manera por hipótesis, y que como tal, no puede llamarse indefinido, según la observación que hemos hecho en último lugar: así, por ejemplo, se puede decir que la sucesión de los números es indefinida, pero no se puede decir que un cierto número, por grande que se le suponga y cualquiera que sea el rango que ocupe en esta sucesión, es indefinido. La idea del «número infinito», entendida como el «más grande de todos los números», o «el número de todos los números», o también el «número de todas las unidades», es una idea verdaderamente contradictoria en sí misma, cuya imposibilidad subsistiría incluso si se renunciara al empleo injustificable de la palabra «infinito»: no puede haber un número que sea más grande que todos los demás, ya que, por grande que sea un número, siempre se puede formar uno más grande agregándole la unidad, conformemente a la ley de formación que hemos formulado más atrás. Eso equivale a decir que la sucesión de los números no puede tener un último término, y es precisamente porque no está «terminada» por lo que es verdaderamente indefinida; como el número de todos sus términos no podría ser más que el último de entre ellos, no se puede decir tampoco que no es «numerable», y esa es una idea sobre la que tendremos que volver más ampliamente a continuación. La imposibilidad del «número infinito» puede establecerse aún con diversos argumentos; Leibnitz, que al menos la reconocía muy claramente («A pesar de mi cálculo infinitesimal, escribía concretamente, yo no admito ningún verdadero número infinito, aunque confieso que la multitud de las cosas sobrepasa todo número finito, o más bien todo número»), empleaba el que consiste en comparar la sucesión de los números pares a la de todos los números enteros: a todo número corresponde otro número que es igual a su doble, de suerte que se pueden hacer corresponder las dos sucesiones término a término, de donde resulta que el número de los términos debe ser el mismo en uno y otro caso; pero, por otra parte, evidentemente hay dos veces más números enteros que números pares, puesto que los números pares se colocan de dos en dos en la sucesión de los números enteros; por consiguiente, así se concluye en una contradicción manifiesta. Se puede generalizar este argumento tomando, en lugar de la sucesión de los números pares, es decir, de los múltiplos de dos, la de los múltiplos de un número cualquiera, y el razonamiento es idéntico; se puede tomar también de la misma manera la sucesión de los cuadrados de los números enteros (Esto es lo que hacía Cauchy, que, por lo demás, atribuía este argumento a Galileo (Sept leçons de Physique générale, 3a lección)), o más generalmente, la de sus potencias de un exponente cualquiera. En todos los casos, la conclusión a la que se llega es siempre la misma: una sucesión que no comprende más que una parte de los números enteros debería tener el mismo número de términos que la que los comprende a todos, lo que equivaldría a decir que el todo no sería más grande que su parte; y, desde que se admite que hay un número de todos los números, es imposible escapar a esta contradicción. No obstante, algunos han creído poder escapar a ella admitiendo, al mismo tiempo, que hay números a partir de los que la multiplicación por un cierto número o la elevación a una cierta potencia ya no sería posible, porque daría un resultado que rebasaría el pretendido «número infinito»; hay inclusos quienes han sido conducidos a considerar en efecto números llamados «más grandes que el infinito», de donde teorías como la del «transfinito» de Cantor, que pueden ser muy ingeniosas, pero que por eso no son más válidas lógicamente (Ya, en la época de Leibnitz, Wallis consideraba «spatia plus quam infinita»; esta opinión, denunciada por Varignon como implicando contradicción, fue sostenida igualmente por Guido Grandi en su libro De Infinitis infinitorum. Por otra parte, Jean Bernoulli, en el curso de sus discusiones con Leibnitz, escribía: «Si dantur termini infiniti, datibur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum sequuntur», lo que, aunque no se explique más claramente ahí, parece indicar que admitía que pueda haber en una serie numérica términos «más allá del infinito»): ¿es concebible que se pueda pensar en llamar «infinito» a un número que, al contrario, es tan «finito» que no es ni siquiera el más grande de todos? Por lo demás, con semejantes teorías, habría números a los que ninguna de las reglas del cálculo ordinario se aplicarían ya, es decir, en suma, números que no serían verdaderamente números, y que no serían llamados así más que por convención (En eso no se puede decir de ninguna manera que se trate de un empleo analógico de la idea del número, ya que esto supondría una transposición a un dominio diferente del de la cantidad, y, al contrario, es a la cantidad, entendida en su sentido más literal, a la que se refieren exclusivamente todas las consideraciones de este tipo); es lo que ocurre forzosamente cuando, al buscar concebir el «número infinito» de otro modo que como el más grande de los números, se consideran diferentes «números infinitos», supuestos desiguales entre sí, y a los que se atribuyen propiedades que ya no tienen nada en común con las de los números ordinarios; así, no se escapa a una contradicción más que para caer en otras, y en el fondo, todo eso no es más que el producto del «convencionalismo» más vacío de sentido que se pueda imaginar. Así, la idea del pretendido «número infinito», de cualquier manera que se presente y por cualquier nombre que se la quiera designar, contiene siempre elementos contradictorios; por lo demás, no hay ninguna necesidad de esa suposición absurda desde que uno se hace una justa concepción de lo que es realmente la indefinidad del número, y desde que se reconoce además que el número, a pesar de su indefinidad, no es aplicable de ninguna manera a todo lo que existe. No vamos a insistir aquí sobre este último punto, puesto que ya lo hemos explicado suficientemente en otra parte: el número no es más que un modo de la cantidad, y la cantidad misma no es más que una categoría o un modo especial del ser, no coextensivo de éste, o, más precisamente aún, no es más que una condición propia de un cierto estado de existencia en el conjunto de la existencia universal; pero es eso justamente lo que la mayoría de los modernos tienen dificultad para comprender, habituados como están a querer reducir todo a la cantidad e incluso evaluar todo numéricamente (Es así como Renouvier pensaba que el número es aplicable a todo, al menos idealmente, es decir, que todo es «numerable» en sí mismo, aunque nosotros seamos incapaces de «numerarlo» efectivamente; también se ha equivocado completamente sobre el sentido que Leibnitz da a la noción de la «multitud», y nunca ha podido comprender como la distinción de ésta con el número permite escapar a la contradicción del «número infinito»). No obstante, en el dominio mismo de la cantidad hay cosas que escapan al número, así como lo veremos cuando tratemos del continuo; e incluso, sin salir de la consideración de la cantidad discontinua, uno está ya forzado a admitir, al menos implícitamente, que el número no es aplicable a todo, cuando se reconoce que la multitud de todos los números no puede constituir un número, lo que, por lo demás, no es en suma más que una aplicación de la verdad incontestable de que lo que limita un cierto orden de posibilidades debe estar necesariamente fuera y más allá de ese orden (Hemos dicho, sin embargo, que una cosa particular o determinada, cualquiera que sea, está limitada por su naturaleza misma, pero en eso no hay absolutamente ninguna contradicción: en efecto, es por el lado negativo de esta naturaleza como ella está limitada (ya que, como ha dicho Spinoza, «omnis determinatio negatio est»), es decir, en tanto que ésta excluye a las demás cosas y las deja fuera de ella, de suerte que, en definitiva, es la coexistencia de esas otras cosas la que limita a la cosa considerada; por lo demás, es por lo que el Todo universal, y solo él, no puede ser limitado por nada). Solamente, debe entenderse bien que una tal multitud, ya se la considere en el discontinuo, como en el caso cuando se trata de la sucesión de los números, o ya se la considere en el continuo, sobre lo que tendremos que volver un poco más adelante, no puede ser llamada de ninguna manera infinita, y que en eso no se trata nunca más que de lo indefinido; por lo demás, es esta noción de la multitud lo que vamos a tener que examinar ahora más cerca .